Question

【题目】已知函数，其中为常数．

（1）若直线是曲线的一条切线，求实数的值；

（2）当时，若函数在上有两个零点．求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）设切点， 由题意得，解方程组即可得结果；（2）函数在上有两个零点等价于，函数 的图象与直线有两个交点，设，利用导数可得函数在处取得极大值，结合，，从而可得结果.

（1）函数的定义域为，，

曲线在点处的切线方程为.

由题意得

解得，.所以的值为1.

（2）当时，，则，

由，得，由，得，则有最小值为，即，

所以，，

由已知可得函数 的图象与直线有两个交点，

设，

则，

令，，

由，可知，所以在上为减函数，

由，得时，，当时，，

即当时，，当时，，

则函数在上为增函数，在上为减函数，

所以，函数在处取得极大值，

又，，

所以，当函数在上有两个零点时，的取值范围是，

即.