【题目】若函数对定义域内的每一个值
在其定义域内都存在唯一的
使
成立,则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”,并说明理由;
(2)若函数在定义域
上为“依赖函数”,求实数
乘积
的取值范围;
(3)已知函数在定义域
上为“依赖函数”,若存在实数
使得对任意的
有不等式
都成立,求实数
的最大值.
【答案】(1)是“依赖函数”,理由见解析;(2);(3)实数
的最大值为
【解析】
(1)利用新定义,对于函数的定义域
内任意的
,取
,即可判断
是否“依赖函数”;
(2)因为在
递增,故
,推出
,得到
,求出
的表达式,然后求解
的范围.
(3)因,故
在
上单调递增,求出
的值,代入
可得不等式
都成立,即
恒成立,利用判别式以及函数的单调性求解函数的最值即可.
解:(1)对于函数的定义域
内任意的
,取
,
则,
且由在
上单调递增,可知
的取值唯一,
故是“依赖函数”;
(2)首先证明:当在定义域上
上单调递增,且为“依赖函数”时,有
。
假设,则当
时,存在
,使得
,
当时,存在
,使得
,
由于在定义域上
上单调递增,故
,
与矛盾,故
。
因为在
递增,且为“依赖函数”
故,
即,
由,得
,故
,
,
解得,
在
上单调递减,
故;
(3)因,故
在
上单调递增,且为“依赖函数”
从而,即
,
进而,
解得或
(舍),
从而,存在,使得对任意的
,有不等式
都成立,
即恒成立,
由,
得,由
,
可得,
又在
单调递增,
故当时,
,
从而,解得
,
故实数的最大值为
.
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【题目】(2015·四川)如图,椭圆E:的离心率是
,点P(0,1)在短轴CD上, 且
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ , 使得为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】若,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面
,则“
”是“
" 的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】(本题满分15分)某工厂某种航空产品的年固定成本为万元,每生产
件,需另投入成本为
,当年产量不足
件时,
(万元).当年产量不小于
件时,
(万元).每件商品售价为
万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量
(件)的函数解析式;
(2)年产量为多少件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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【题目】(2015·湖北)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且,
.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为
轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(1)求曲线C的方程;
(2)设动直线与两定直线
和
分别交于
两点.若直线
总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:
的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
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【题目】(2015·湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是BC的中点,连接DE,BD,BE
(I)证明:DE底面PBC,试判断四面体EBCD是否为鳖臑. 若是,写出其四个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;
(Ⅱ)记阳马的体积为
,四面体
的体积为
,求
的值.
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【题目】已知抛物线C1:x2=4y 的焦点F也是椭圆c2:的一个焦点, C1和C2的公共弦长为
(1)求 C2的方程;
(2)过点F 的直线 l与 C1相交于A与B两点, 与C2相交于C , D两点,且与
同向
(ⅰ)若 求直线l的斜率;
(ⅱ)设 C1在点 A处的切线与 x轴的交点为M ,证明:直线l 绕点 F旋转时, MFD总是钝角三角形。
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