【题目】已知抛物线C1:x2=4y 的焦点F也是椭圆c2:的一个焦点, C1和C2的公共弦长为
(1)求 C2的方程;
(2)过点F 的直线 l与 C1相交于A与B两点, 与C2相交于C , D两点,且与
同向
(ⅰ)若 求直线l的斜率;
(ⅱ)设 C1在点 A处的切线与 x轴的交点为M ,证明:直线l 绕点 F旋转时, MFD总是钝角三角形。
【答案】(1)
(2)(i),
(ii)见解析。
【解析】(1)根据已知条件可求得C2的焦点坐标为(0,1),再利用公共弦长为即可求解由C1:
知其焦点F的坐标(0,1)因为F也是椭圆C2的一焦点,所以
①又C1与C2的公共弦长为
, C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为
由此易得C1与C2公共点的坐标为
所以,
②联立①,②得a2=9,b2=8故C2的方程为
(2)(ⅰ)设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由得x2+16kx+64=0,根据条件可知
, 从而可以建立关于k的方程,即可求解,如图f
因为
与
同向且
所以
, 从而
,于是
③,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由
得
而x1x2是这个方程的两个根所以
由
得(9+8k)2+16kx-64=0而x3x4是这个方程的两个根,所以
⑤将④⑤带入③得
, 即
, 所以
, 解得,k=
(ⅱ)根据条件可说明 , 因此
是锐角,从而
是钝角,即可得证由
令y=0得
即
所以,
而
于是
因此
是锐角。
【考点精析】根据题目的已知条件,利用椭圆的标准方程和椭圆的参数方程的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
;椭圆
的参数方程可表示为
.
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【题目】若函数对定义域内的每一个值
在其定义域内都存在唯一的
使
成立,则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”,并说明理由;
(2)若函数在定义域
上为“依赖函数”,求实数
乘积
的取值范围;
(3)已知函数在定义域
上为“依赖函数”,若存在实数
使得对任意的
有不等式
都成立,求实数
的最大值.
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【题目】在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示,若将运动员按成绩由好到差编为号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间
上的运动员人数是
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【题目】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮猜对的概率是
;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(2)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.
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【题目】等差数列{an}的前n项和为Sn , 数列{bn}是等比数列,且满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5﹣2b2=a3 , 数列{ }的前n项和Tn , 若Tn<M对一切正整数n都成立,则M的最小值为 .
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【题目】将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向左平移 个单位得到函数g(x)的图象,若函数g(x)的图象关于直线x=ω对称且在区间(﹣ω,ω)内单调递增,则ω的值为( )
A.
B.
C.
D.
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