Question

已知一个圆截y轴所得的弦长为2，被x轴分成的两段弧长的比为3：1．
（1）设圆心（a，b），求实数a、b满足的关系式；
（2）当圆心到直线l：x-2y=0的距离最小时，求圆的方程．

Answer 1

（1）设圆心P（a，b），半径为r，则|b|=

r

2

，2b²=r²，①…（3分）
又|a|²+1=r²，所以a²+1=r²，②
联立①②消去r得：2b²=a²+1；…（6分）
（2）点P到直线x-2y=0的距离d=

|a-2b|

5

，
5d²=a²-4ab+4b²≥a²+4b²-2（a²+b²）=2b²-a²=1，…（9分）
所以

a=b 2b2=a2+1

，
所以

a=1 b=1

，或

a=-1 b=-1

，…（11分）
所以（x-1）²+（y-1）²=2或（x+1）²+（y+1）²=2．…（13分）