Question

11．设向量$\overrightarrow a=（1+sinx，cosx+sinx）$，$\overrightarrow b$=（2sinx，cosx-sinx），$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间$[{0，\frac{2π}{3}}]$上是增函数，求ω的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的数量积，化简三角函数式，即可得出函数的解析式；
（2）根据正弦型函数的图象与性质，写出f（ωx）的单调增区间，列出不等式求出ω的取值范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（1+sinx，cosx+sinx）$，
$\overrightarrow b$=（2sinx，cosx-sinx），
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$
=（1+sinx）•2sinx+（cosx-sinx）•（cosx+sinx）
=2sin x+1，
故函数解析式为f（x）=2sin x+1；
（2）∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
得f（ωx）的增区间是（$\frac{2kπ}{ω}$-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{2kπ}{ω}$+$\frac{π}{2ω}$），k∈Z；
∵f（ωx）在$[{0，\frac{2π}{3}}]$上是增函数，
∴$[{0，\frac{2π}{3}}]$⊆（-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$）；
∴0≥-$\frac{π}{2ω}$且$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2ω}$，
∴ω∈（0，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．