Question

13．设函数f（x）=|x|x-bx+c，则下列命题中正确命题的序号有①③④．（请将你认为正确命题的序号都填上）
①当b＞0时，函数f（x）在R上是单调增函数；
②当b＜0时，函数f（x）在R上有最小值；
③函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④方程f（x）=0可能有三个实数根．

Answer 1

分析 ①当b＞0时，把函数f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0两种情况讨论，转化为二次函数求单调性；
②当b＜0时，函数f（x）在R上有最小值，可以根据函数的对称性加以判断；
③函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，可以根据函数图象的平移解决；
④方程f（x）=0可能有三个实数根，对b，c去特殊值．

解答 解：①当b＞0时，f（x）=|x|x+bx+c=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx+c，x≥0}\\{-{x}^{2}+bx+c，x＜0}\end{array}\right.$，知函数f（x）在R上是单调增函数；
②当b＜0时，f（x）=|x|x+bx+c=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx+c，x≥0}\\{-{x}^{2}+bx+c，x＜0}\end{array}\right.$，值域是R，故函数f（x）在R上没有最小值；
③若f（x）=|x|x+bx那么函数f（x）是奇函数（f（-x）=-f（x）），也就是说函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象沿Y轴移动，故图象一定是关于（0，c）对称的．
④令b=-2，c=0，则f（x）=|x|x-2x=0，解得x=0，2，-2．所以正确．
故答案为：①③④．

点评 此题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题，对于含有绝对值的一类问题，通常采取去绝对值的方法解决，体现了分类讨论的数学思想；函数的对称性问题一般转化为函数的奇偶性加以分析，再根据函数图象的平移解决，体现了转化、运动的数学思想；对于存在性的命题研究，一般通过特殊值法来解决．是好题，属中档题．