Question

18．已知正数a，b，c满足3a-b+2c=0，则$\frac{\sqrt{ac}}{b}$的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

Answer 1

分析 消去b，结合基本不等式的性质求出最大值，即可得答案．

解答 解：根据题意，设t=$\frac{\sqrt{ac}}{b}$，
由3a-b+2c=0可得3a+2c=b，
则t=$\frac{\sqrt{ac}}{b}$=$\frac{\sqrt{ac}}{3a+2c}$=$\frac{1}{3\sqrt{\frac{a}{c}}+2\sqrt{\frac{c}{a}}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{3\sqrt{\frac{a}{c}}•2\sqrt{\frac{c}{a}}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$；
当且仅当a=c时“=”成立，
则t≤$\frac{\sqrt{6}}{12}$，即$\frac{\sqrt{ac}}{b}$的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{12}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

点评 本题考查基本不等式的运用，关键将3a-b+2c=0变形为3a+2c=b，本题是一道中档题．