Question

7．给出以下命题：
（1）直线l：y=k（x-3）与双曲线$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1交于A，B两点，若|AB|=5，则这样的直线有3条；
（2）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，则P，A，B，C四点共面；
（3）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$，则P，A，B，C四点一定不共面；
（4）直线θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）与曲线ρ=$\frac{1}{1-2cosθ}$（ρ∈R）没有公共点．
其中，真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）根据直线和双曲线的位置关系进行判断．
（2）根据四点共面的等价条件进行判断．
（3）根据四点共面的等价条件进行判断．
（4）根据极坐标成立的条件进行判断．

解答 解：（1）由双曲线方程得a=2，c=3，即直线l：y=k（x-3）过双曲线的右焦点，
∵双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，a+c=2+3=5，
∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，当k=0时2a=4，
则满足|AB|=5的直线有2条，
当直线与实轴垂直时，
当x=c=3时，得$\frac{9}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1，即$\frac{y^2}{5}$=$\frac{5}{4}$，即y²=$\frac{25}{4}$，则y=±$\frac{5}{2}$，
此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB的斜率不存在，故不满足条件．综上可知有2条直线满足|AB|=5，故（1）错误，
（2）∵$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=1，∴P，A，B，C四点共面，故（2）正确，
（3）∵2-1+2=-1≠1，∴P，A，B，C四点一定不共面，故（3）正确，
（4）当θ=$\frac{π}{3}$时，1-2cosθ=1-2cos$\frac{π}{3}$=1-2×$\frac{1}{2}$=1-1=0，
此时曲线ρ=$\frac{1}{1-2cosθ}$无意义，即直线θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）与曲线ρ=$\frac{1}{1-2cosθ}$（ρ∈R）没有公共点，故（4）正确，
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．