Question

15．设O是△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b²-2b+c²=0，则$\overrightarrow{{B}C}•\overrightarrow{{A}{O}}$的范围是（　　）

• A． $（{-\frac{1}{4}，2}]$
• B． $[{-\frac{1}{4}，2}）$
• C． $[{-2，\frac{1}{4}}）$
• D． $（{-2，\frac{1}{4}}]$

Answer 1

分析 根据已知条件可画出△ABC及其外接圆，连接AO并延长，交外接圆于D．所以便得到cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$，cos∠CAD=$\frac{AC}{AD}$，根据数量积得到$\overrightarrow{{B}C}•\overrightarrow{{A}{O}}$=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，而根据c²=2b-b²可求得b的范围0＜b＜2，所以求出二次函数$f（b）={（{b-\frac{1}{2}}）^2}-\frac{1}{4}$在（0，2）上的范围即可．

解答 解：O是△A BC 的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心，如图所示，延长AO交外接圆于D．AD是⊙O的直径，
所以∠ACD=∠ABD=90°，
$cos∠C{A}D=\frac{{{A}C}}{{{A}D}}$，$cos∠{B}{A}D=\frac{{{A}{B}}}{{{A}D}}$，
所以$\overrightarrow{{A}{O}}•\overrightarrow{{B}C}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}D}•（{\overrightarrow{{A}C}-\overrightarrow{{A}{B}}}）=\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}D}•\overrightarrow{{A}C}-\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}D}•\overrightarrow{{A}{B}}$，
=$\frac{1}{2}{|{\overrightarrow{{A}C}}|^2}-\frac{1}{2}{|{\overrightarrow{{A}{B}}}|^2}=\frac{1}{2}{b^2}-\frac{1}{2}{c^2}=\frac{1}{2}{b^2}-\frac{1}{2}（{2b-{b^2}}）={b^2}-b={（{b-\frac{1}{2}}）^2}-\frac{1}{4}$，
因为c²=2b-b²＞0，
所以0＜b＜2，
令$f（b）={（{b-\frac{1}{2}}）^2}-\frac{1}{4}$，
所以当$b=\frac{1}{2}$ 时，有最小值$-\frac{1}{4}$．
因为f（0）=0，f（2）=2，
所以$-\frac{1}{4}≤f（b）＜2$，
所以$\overrightarrow{{B}C}•\overrightarrow{{A}{O}}$ 的范围是$[{-\frac{1}{4}，2}）$．
故选：B．

点评 本题考查圆的直径所对的圆周角为90°，用直角三角形的边表示余弦值，以及二次函数值域的求法，注意解题方法的积累，属于中档题．