Question

5．已知f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，点A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且三角形ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$π．
（1）求ω的值及函数f（x）的对称轴方程；
（2）若f（x₀）=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，x₀∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），求f（x₀+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再由题意结合正弦函数的图象和性质求得ω的值，可得f（x）的解析式，从而求得函数f（x）的图象的对称轴方程．
（2）由条件求得sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，再利用2x₀+$\frac{π}{3}$的范围求得cos（2x₀+$\frac{π}{3}$），利用两角和的正弦公式，求得f（x₀+$\frac{π}{6}$）=sin[（2x₀+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]的值．

解答 解：（1）f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$=3•$\frac{1+cosωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx+$\frac{1}{2}$sinωx）=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$） 在一个周期内的图象，
点A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且三角形ABC的面积为$\frac{1}{2}$•$\frac{T}{2}$•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$π，∴ω=2，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
（2）若f（x₀）=$\sqrt{3}$sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，∴sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．
∵x₀∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），∴2x₀+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴f（x₀+$\frac{π}{6}$）=sin（2x₀+$\frac{2π}{3}$）=sin[（2x₀+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}$+（-$\frac{3}{5}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，同角三角的基本关系，两角和的正弦公式，属于中档题．