Question

6．等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（　　）

• A． B²=AC
• B． A+C=2B
• C． B（B-A）=A（C-A）
• D． B（B-A）=C（C-A）

Answer 1

分析 讨论公比是否是1，从而分别求A，B，C，从而判断选项是否成立即可．

解答 解：若公比q=1，则B，C成立；
故排除A，D；
若公比q≠1，
则A=S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，B=S_2n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$，C=S_3n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-q}$，
B（B-A）=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$（$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$-$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$）=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{q}^{n}}{（1-q）^{2}}$（1-qⁿ）（1-qⁿ）（1+qⁿ）
A（C-A）=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-q}$-$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$）=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{q}^{n}}{（1-q）^{2}}$（1-qⁿ）（1-qⁿ）（1+qⁿ）；
故B（B-A）=A（C-A）；
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．