Question

4．已知$\overrightarrow{a}$=（2+sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（2，-2），$\overrightarrow{c}$=（sinx-3，1），$\overrightarrow{d}$=（1，k）（x，k∈R）
（1）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且$\overrightarrow{a}$∥（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），求x的值；
（2）若函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，求f（x）的最小值；
（3）是否存在实数k，使得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{d}$）⊥（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据向量关系的坐标公式进行化简求解即可．
（2）根据向量数量积的公式进行化简，结合三角函数的性质进行求解即可．
（3）利用向量垂直的等价条件进行化简求解．

解答 解：（1）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且$\overrightarrow{a}$∥（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），
则$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=（sinx-1，-1），
则sinx-1-（-1）•（2+sinx）=0，
即2sinx=-1，
则sinx=-$\frac{1}{2}$，
则x=-$\frac{π}{3}$；
（2）若函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
则f（x）=（2+sinx，1）•（2，-2）=2（2+sinx）-2=2+2sinx，
则当sinx=-1时，函数f（x）取得最大值，此时最小值为2-2=0．
（3）若存在实数k，使得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{d}$）⊥（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{d}$）•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=0，
即（3+sinx，1+k）•（sinx-1，-1）=0，
即（3+sinx）（sinx-1）-（1+k）=0
即sin²x+2sinx-3-1-k=0
即k=sin²x+2sinx-4=（sinx+1）²-5，
∵-1≤sinx≤1，
∴0≤（sinx+1）²≤4，
则-5≤（sinx+1）²-5≤-1，
即-5≤k≤-1
即存在，此时出k的取值范围是[-5，-1]．

点评 本题主要考查向量数量积的应用以及向量与三角函数的综合，考查学生的运算和转化能力，利用向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键．