已知分别是椭圆的左,右顶点,点在椭圆 上,且直线与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为椭圆上除长轴端点外的任一点,直线,与椭圆的右准线分别交于点,.
①在轴上是否存在一个定点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;
②已知常数,求的取值范围.
(1);(2)①存在点的坐标为,②.
【解析】
试题分析:(1)利用题目条件建立关于a,b,c的方程组,解方程组即可;
(2)①对于存在性问题,可以先假设点存在,然后根据以及点P在椭圆上直线,与椭圆的右准线分别交于点,等相关条件建立方程,看看点E的横坐标是不是定值,如果是即为所求,如果不是也就说明了不存在;②利用向量的坐标运算,计算, ,进而求出的表达式,在利用函数知识求取值范围.
试题解析:(1)由题意得,,
, ∴,
由点在椭圆C上,则有:
, 2分
由以上两式可解得.
∴椭圆方程为. 4分
(2)①椭圆右准线的方程为. 5分
假设存在一个定点,使得.设点().
直线的方程为,令,,∴点坐标为.
直线的方程为,令,,
∴点坐标为. 7分
若,则,∵ ,,
∴. 9分
∵点在椭圆上,∴,∴ ,代入上式,得 ,
∴,∴点的坐标为. 11分
②∵, ,
∴.
∵,,∴.
∴ . 13分
设函数,定义域为,
当时,即时,在上单调递减,的取值范围为,
当时,即时,在上单调递减,在上单调递增,的取值范围为 .
综上,当时,的取值范围为,
当时,的取值范围为. 16分
考点:(1)椭圆的标准方程;(2)向量的坐标运算;(3)函数的单调性求值域.
科目:高中数学 来源:2015届江西省宜春市高二上学期期末统考文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
各项都是正数的等比数列的公比,且成等差数列,则 的值为( )
A. B.
C. D.或
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科目:高中数学 来源:2015届江西南昌市四校高二上学期期末联考理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知 ,则S1,S2,S3的大小关系为( )
A. S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C. S2<S3<S1 D.. S3<S2<S1
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科目:高中数学 来源:2015届江苏省常州市高二上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知为实数,:点在圆的内部; :都有.
(1)若为真命题,求的取值范围;
(2)若为假命题,求的取值范围;
(3)若“且”为假命题,且“或”为真命题,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2015届江苏省常州市高二上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
已知点P在抛物线上运动,F为抛物线的焦点,点M的坐标为(3,2),当PM+PF取最小值时点P的坐标为 .
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