(本题满分13分)
如图一,平面四边形关于直线
对称,
。
把沿
折起(如图二),使二面角
的余弦值等于
。对于图二,
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明:平面
;
(Ⅲ)求直线与平面
所成角的正弦值。
(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)
.
解析试题分析:(I)取BD的中点E,先证得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角,再在△ACE中利用余弦定理即可求得AC;
(II)欲证线面垂直,转化为证明线线垂直,证明AC⊥BC,AC⊥CD即可;
(III)欲求直线AC与平面ABD所成角,先结合(I)中的垂直关系作出直线AC与平面ABD所成角,最后利用直角三角形中的边角关系即可求出所成角的正弦值.
解:(Ⅰ)取的中点
,连接
,
由,得:
就是二面角
的平面角,
……………2分
在中,
…………………………………4分
(Ⅱ)由,
, 又
平面
.……………8分
(Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知平面
平面
∴平面平面
平面
平面
,
作交
于
,则
平面
,
就是
与平面
所成的角
.……13分
方法二:设点到平面
的距离为
,
∵
于是
与平面
所成角
的正弦为
.
方法三:以所在直线分别为
轴,
轴和
轴建立空间直角坐标系
, 则
.
设平面的法向量为
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(本小题10分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出
(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
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平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90º ,
∠BAA1=∠DAA1=60º ,求AC1的长。
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(本小题满分12分)
如图,直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,
∠C=60°,将该梯形绕着AB所在的直线为轴旋转一周,求该旋转体的表面积和体积。
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(本题8分)如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心, PO底面ABCD,E是PC的中点。
求证:(1)PA∥平面BDE (2)平面PAC平面BDE
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