Question

已知函数g（x）=xlnx
（Ⅰ）求g（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f(x)=

g(x)

x

-

1

2

ax2+(a-1)x，(a≤-1)的单调区间；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈（

1

e

，1），x₁+x₂＜1，求证：x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，利用导数的几何意义即可求g（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f'（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可求出f(x)=

g(x)

x

-

1

2

ax2+(a-1)x，(a≤-1)的单调区间；
（Ⅲ）根据基本不等式的解法即可证明不等式．

解答：解（Ⅰ）函数的定义域为{x|x＞0}，
∵g（x）=xlnx
∴g'（x）=lnx+1，
∴g'（1）=1，g（1）=0，
∴g（x）在x=1处的切线方程为y=x-1．
（Ⅱ）∵f(x)=lnx-

1

2

ax2+(a-1)x，(a≤-1)，
∴f′(x)=

1

x

-ax+(a-1)=-

a(x-1)(x+ 1 a )

x

，(x＞0)，
由f'（x）=0，得x1=1，x2=-

1

a

，
当a=-1，y=f（x）的单调增区间（0，+∞），
当a＜-1时，函数y=f（x）的单调递增区间是(0，-

1

a

)，(1，+∞)，单调递减区间是(-

1

a

，1)
（Ⅲ）g′(x)=1+lnx=0，x=

1

e

，
∴在(

1

e

，+∞)上g（x）是增函数，(0，

1

e

)上是减函数
∵

1

e

＜x1＜x1+x2＜1，
∴g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞g（x₁）=x₁ln?x，
即ln?x1＜

x1+x2

x1

ln?(x1+x2)，
同理ln?x2＜

x1+x2

x2

ln?(x1+x2)．
∴ln?x1+ln?x2＜(

x1+x2

x1

+

x1+x2

x2

)ln?(x1+x2)=(2+

x1

x2

+

x2

x1

)ln?(x1+x2)．
又∵2+

x1

x2

+

x2

x1

≥4，当且仅当“x₁=x₂”时，取等号．
又x1，x2∈(

1

e

，1)，x₁+x₂＜1，ln（x₁+x₂）＜0，
∴(2+

x1

x2

+

x2

x1

≥4)ln?(x1+x2)≤4ln?(x1+x2)，
∴ln?x₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂），
即：x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．成立．

点评：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，综合性较强，运算量较大．