精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=x3-
1
2
x2
+bx+c.
(1)若f(x)有极值,求b的取值范围;
(2)当f(x)在x=1处取得极值时,①若当x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围;②证明:对[-1,2]内的任意两个值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤
7
2
分析:(1)若f(x)有极值,求导,令导数等于零,则方程有不等实数根,从而求得b的取值范围;(2)当f(x)在x=1处取得极值时,则f′(1)=0,可求得b的值,①若当x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,转化为求函数f(x)在[-1,2]上的最大值小于c2即可求得c的取值范围;②对[-1,2]内的任意两个值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤
7
2
,转化为求函数f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值的差≤
7
2
即可.
解答:解:(1)∵f(x)=x3-
1
2
x2+bx+c

∴f′(x)=3x2-x+b,
要使f(x)有极值,则f′(x)=3x2-x+b=0有两不等实根,
从而△=1-12b>0,解得b<
1
12

(2)∵f(x)在x=1处取得极值,∴f′(1)=3-1+b=0,∴b=-2.
①∴f(x)=x3-
1
2
x2-2x+c,∵f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)
∴当x∈(-
2
3
,1)时,f′(x)<0,函数单调递减,
当x∈(-∞,-
2
3
)和(1,+∞)时,f′(x)>0,函数单调递增,∴当x=-
2
3
时,f(x)有极大值
22
27
+c,
又f(2)=2+c>
22
27
+c,f(-1)=
1
2
+c<
22
27
+c,
∴x∈[-1,2]时,f(x)max=f(2)=2+c,
∴c2>2+c
∴c<-1或c>2.
②由上可知,当x=1时,f(x)有极小值-
3
2
+c又f(2)=2+c>-
3
2
+c,f(-1)=
1
2
+c
>-
3
2
+c,∴x∈[-1,2]时,f(x)min=-
3
2
+c,
∴|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=|2+c-(-
3
2
+c)|=
7
2

故结论成立.
点评:考查利用导数研究函数的极值,和求闭区间上的最值问题,在(2)的求解过程中,都转化为求函数在闭区间上的最值问题,体现了转化的思想方法.属难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案