Question

【题目】已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）= ，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）﹣a﹣1=0（a∈R）有且只有7个不同实数根，则a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由题意，f（x）在（﹣∞，﹣2]和[0，2）上是减函数，在（﹣2，0]和[2，+∞）上是增函数；
∴x=0时，函数取极大值1，x=±2时，取极小值 ，且|x|≥16时，f（x）≥1，则f（x）的图象如下所示：

由[f（x）]2+af（x）﹣a﹣1=0得[f（x）﹣1][f（x）+a+1]=0；
∴f（x）=1或﹣a﹣1；
∵关于x的方程[f（x）]2+af（x）﹣a﹣1=0有7个不同实数根；
∴ ；
∴ ；
∴a的取值范围为 ．
所以答案是： ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．