Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面为直角梯形， ， ， ，且， ， 是的中点。

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明面面垂直，只需利用两平面法向量垂直，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积为零得证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积求夹角，再根据二面角夹角与向量夹角关系得二面角的余弦值

试题解析：

证明：（Ⅰ）以为坐标原点长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为， ， ， ， ， ，则， ，故，所以，由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得,又在平面内,故平面。

（Ⅱ）在上取一点，则存在，使，连接， ， ，所以， ， 。要使，只要，即，解得。可知当时， 点坐标为，能使，此时， ， ，所以。由， ， ，所以，故所求二面角的余弦值为。