【题目】如图,已知四棱锥的底面为直角梯形,
,
,
,且
,
,
是
的中点。
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求二面角的余弦值。
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用空间向量证明面面垂直,只需利用两平面法向量垂直,先根据题意建立坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,根据法向量数量积为零得证(Ⅱ)利用空间向量求二面角,先根据题意建立坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,根据法向量数量积求夹角,再根据二面角夹角与向量夹角关系得二面角的余弦值
试题解析:
证明:(Ⅰ)以为坐标原点
长为单位长度,如图,建立空间直角坐标系,则各点为
,
,
,
,
,
,则
,
,故
,所以
,由题设知
,且
与
是平面
内的两条相交直线,由此得
,又
在平面
内,故平面
。
(Ⅱ)在上取一点
,则存在
,使
,连接
,
,
,所以
,
,
。要使
,只要
,即
,解得
。可知当
时,
点坐标为
,能使
,此时,
,
,所以
。由
,
,
,所以
,故所求二面角的余弦值为
。
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【题目】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(3)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列及期望.
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【题目】已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)= ,若关于x的方程[f(x)]2+af(x)﹣a﹣1=0(a∈R)有且只有7个不同实数根,则a的取值范围是 .
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【题目】设点M(x,y)在|x|≤1,|y|≤1时按均匀分布出现,试求满足:
(1)x+y≥0的概率;
(2)x+y<1的概率;
(3)x2+y2≥1的概率.
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【题目】已知F为椭圆C: +
=1的右焦点,椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l:x=m的距离之比为
,求:
(1)直线l方程;
(2)设A为椭圆C的左顶点,过点F的直线交椭圆C于D、E两点,直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点.以MN为直径的是圆是否恒过一定点,若是,求出定点坐标,若不是请说明理由.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C= . (Ⅰ)若△ABC的面积等于
,求a,b;
(Ⅱ)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC的面积.
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【题目】已知A,B,C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,若c2+b2+cb=a2
(1)求A;
(2)若a=2 ,b+c=4,求△ABC的面积.
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