Question

设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4(

2

-1)，
（1）求此椭圆方程，并求出准线方程；
（2）若P在左准线l上运动，求tan∠F₁PF₂的最大值．

Answer 1

（1）设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
如图，
B₁F₁⊥B₂F₁，
且|A1F1|=4(

2

-1)
∴

a-c=4( 2 -1) b=c a2=b2+c2

（5分）
∴a²=32，b²=16（7分）
∴椭圆方程为

x2

32

+

y2

16

=1，准线方程为x=±8（9分）
（2）设P（-8，t），∵F₁（-4，0），F₂（4，0）
则tan∠F1PF2=|

8t

48+t2

|=|

8

48 t +t

|≤

8

2 48

=

4

4 3

=

3

3

当P（-8，±4

3

）最大值为

3

3

（13分）