Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAsinC+sinBsinC+cos2C=1，a+b=10．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若B=

2π

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）根据二倍角的三角函数公式化简已知等式，结合正弦定理得到ac+bc=2c²，得a+b=2c=10，从而得到c=5．
（II）利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，代入题中数据解出b=7，从而得出a=3，再利用三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．

解答：解：（I）∵在△ABC中，sinAsinC+sinBsinC+cos2C=1，
∴sinAsinC+sinBsinC=1-cos2C=2sin²C，
根据正弦定理，得ac+bc=2c²，得a+b=2c，
∵a+b=10，
∴2c=10，解得c=5．
（2）∵B=

2π

3

，c=5，a=10-b，
∴根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
得b²=（10-b）²+5²-2（10-b）•5cos

2π

3

=b²-25b+175，
解之得b=7，
∴a=10-b=3，
由此可得△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×3×5×

3

2

=

15 3

4

．

点评：本题给出三角形角的关系式，在已知a+b=10的情况下求边c，并依此求三角形的面积．着重考查了二倍角三角函数公式、正余弦定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题．