Question

在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A-BC-D的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、DO，根据正三角形可知AO⊥BC，DO⊥BC，而AO∩DO=O，满足线面垂直的判定定理，则BC⊥平面AOD，而AD?平面AOD，根据线面垂直的性质可知BC⊥AD．
（Ⅱ）根据二面角平面角的定义可知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角，过点D作DE⊥AO，垂足为E，易证线段DE的长为点D到平面ABC的距离，在Rt△DEO中，求出此角的正弦值即可．
解答：证明：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、DO．
因为△ABC、△BCD都是边长为4的正三角形，
所以AO⊥BC，DO⊥BC，
且AO∩DO=O．
所以BC⊥平面AOD，
又AD?平面AOD．
所以BC⊥AD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角，
设∠AOD=α，则过点D作DE⊥AO，垂足为E．∵BC⊥平面ADO，且BC?平面ABC，
∴平面ADO⊥平面ABC，又平面ADO∩平面ABC=AO，
∴DE⊥平面ABC，
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE=3．
又，
在Rt△DEO中，，
故二面角A-BC-D的正弦值为．
点评：本题主要考查了线面垂直的性质，以及二面角的度量，同时考查了推理能力和计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．