Question

2．已知g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x的反函数为y=f（x）．
（1）若函数g（kx²+2x+1）的定义域为R，求k的范围；
（2）当x∈[-1，1]时，函数y=[f（x）]²-2mf（x）+3存在零点，求m范围；
（3）定义在I上的函数F（x），如果满足：对任意x∈I，存在常数M，使得F（x）≤M成立，则称函数F（x）是I上的“上限”函数，其中M为函数F（x）的“上限”．记h（x）=$\frac{1-mf（-x）}{1+mf（-x）}$（m≠0）；问：函数h（x）在区间[0，1]上是否存在“上限”M？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的真数大于0，其定义域为R，即可求解k的范围．
（2）由题意y=f（x）=3^-x，那么：y=[f（x）]²-2mf（x）+3=3^-2x-2m3^-x+3存在零点，利用复合函数的单调性讨论其最小值小于等于0，求其m范围；
（3）由题意：h（x）=$\frac{1-mf（-x）}{1+mf（-x）}$=$\frac{1-m{3}^{x}}{1+m{3}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+m{3}^{x}}$（m≠0）；函数h（x）在区间[0，1]上讨论m从而确定是否存在上限．

解答 解：（1）由题意：g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x；
那么：g（kx²+2x+1）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（kx²+2x+1）的定义域为R，
则满足：$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{{b}^{2}-4ac＜0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{4-4k＜0}\end{array}\right.$，解得：k＞1，
故k的范围是（1，+∞）．
（2）由题意：g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x的反函数为y=f（x）．
那么：f（x）=3^-x，
则y=[f（x）]²-2mf（x）+3=（3^-x）²-2m3^-x+3=（3^-x-m）²+3-m²．
∵x∈[-1，1]，
∴${3}^{-x}∈[\frac{1}{3}，3]$．
当m$≤\frac{1}{3}$时，函数y在区间x∈[-1，1]上是单调减函数，y的最小值为：$（\frac{1}{3}-m）^{2}+3-{m}^{2}$=28-6m．
有零点存在，则：28-6m≤0，解得：$m≥\frac{14}{3}$．
故m的范围是∅．
当m≥3时，函数y在区间x∈[-1，1]上是单调增函数，y的最小值为：（3-m）²+3+m²=12-6m．
有零点存在，则：12-6m≤0，解得：m≥2；
故m的范围是[3，+∞）．
当$\frac{1}{3}$＜m＜3时，y的最小值为：3-m²；
有零点存在，则：3-m²≤0，解得：$m≥\sqrt{3}$或$m≤-\sqrt{3}$；
故m的范围是[$\sqrt{3}$，3）．
综上所述：m范围是：[$\sqrt{3}$，+∞）．
（3）由题意：h（x）=$\frac{1-mf（-x）}{1+mf（-x）}$=$\frac{1-m{3}^{x}}{1+m{3}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+m{3}^{x}}$（m≠0）；
当m＞0时，1+m3^x＞1，则=-1+$\frac{2}{1+m{3}^{x}}$＜-1+2=1；
故M≥1；
当m＜0时，1+m3^x可以趋近于0，
故没有上限．
综上所述：当m＞0时，M≥1；
当m＜0时，不存在M．

点评 本题考查了对数函数的综合运用能力和计算，分析能力，考查了复合函数的单调性的判断及运用与新定义的结合．属于难题．