Question

9．某同学利用图形计算器对分段函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}+1{，_{\;}}x≤0\\ ln（x+k）-1{，_{\;}}x＞0\end{array}$作了如下探究：

根据该同学的探究分析可得：当k=-1时，函数f（x）的零点所在区间为（3.69，3.75）（填第5行的a、b）；若函数f（x）在R上为增函数，则实数k的取值范围是k≥e³．

Answer 1

分析 通过函数的零点存在性定理可得零点所在区间，利用ln（x+k）-1≥f（0），计算可得k的取值范围．

解答 解：根据图象及函数的零点存在性定理，
可得f（3.69）＜0，f（3.75）＞0，f（3.63）＜0，
故当k=-1时，函数f（x）的零点所在区间为（3.69，3.75）；
要使函数f（x）在R上为增函数，如图所示，
则ln（x+k）-1≥f（0）=2⁰+1=2，
所以x+k≥e³，故k≥e³-x，
又x＞0，所k≥e³，
故答案为：（3.69，3.75），k≥e³．

点评 本题考查函数的零点存在性定理、函数的单调性，数形结合是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．