Question

【题目】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是 的中点，连接、、.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（3）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；四面体是鳖臑，四个面的直角分别是、、、；（3）.

【解析】

（1）连接交于点，连接，则点为的中点，利用中位线的性质得到，然后再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（2）证明出平面，可得出，再利用三线合一的性质得出，再利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面，然后结合定义判断出四面体是鳖臑，并写出每个面的直角；

（3）利用锥体的体积公式计算出和的表达式，即可得出的值.

（1）连接，交于点，连接，则点为的中点，

又为的中点，，

又平面，平面，所以平面；

（2）因为底面，平面，所以.

由底面为长方形，有，而，所以平面.

平面，所以.

又因为，点是的中点，所以.

而，所以平面.

由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是、、、；

（3）由已知，是阳马的高，所以；

由（2）知，是鳖臑的高，，

所以.

在中，因为，点是的中点，所以，

于是 .