Question

4．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且$\sqrt{3}$a=2csinA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理即可得出．
（2）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{2c}{{\sqrt{3}}}=\frac{c}{sinC}$，∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又C是锐角，∴$C=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{{a^2}+{b^2}-7}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∴a²+b²-7=ab≥2ab-7，∴ab≤7，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab≤\frac{{7\sqrt{3}}}{4}$，
当且仅当$a=b=\sqrt{7}$时，△ABC的面积有最大值$\frac{{7\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．