Question

9．已知双曲线$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{16}$=1，P为双曲线上一点，F₁，F₂是双曲线的两个焦点，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 由题意可得F₂（2$\sqrt{10}$，0），F₁ （-2$\sqrt{10}$，0），由余弦定理可得 PF₁•PF₂=64，由△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°，计算即可得到所求．

解答 解：由双曲线$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{16}$=1的a=$\sqrt{24}$，b=4，c=2$\sqrt{10}$，
F₂（2$\sqrt{10}$，0），F₁ （-2$\sqrt{10}$，0），
由余弦定理可得，
F₁F₂²=160=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°
=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=96+PF₁•PF₂，
∴PF₁•PF₂=64．
则△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°=$\frac{1}{2}$×64×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=16$\sqrt{3}$．
故答案为：16$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，求出PF₁•PF₂的值，是解题的关键．