Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$ ）的图象与x轴的一个交点为（-$\frac{π}{6}$，0），与此交点距离最短的最高点坐标是（$\frac{π}{12}$，1）．
（1）求函数f（x）的表达式．
（2）求方程f（x）=a （-1＜a＜0）在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用余弦函数的图象的对称性，求得f（x）在[0，2π]内的所有实数根之和．

解答 解：（1）依题意A=1，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
又∵f（-$\frac{π}{6}$）=0，∴sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，结合-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期是 π，∴函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）在[0，2π]内恰有2个周期，
∴f（x）=a （-1＜a＜0）在[0，2π]内4个实根，可设为x₁，x₂，x₃，x₄，（x₁＜x₂＜x₃＜x₄ ）
根据$\frac{{2x}_{1}+\frac{π}{3}+{2x}_{2}+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{3π}{2}$，$\frac{{2x}_{3}+\frac{π}{3}+{2x}_{4}+\frac{π}{3}}{2}$=2$π+\frac{3π}{2}$，求得 $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{7π}{12}$，$\frac{{x}_{3}{+x}_{4}}{2}$=$\frac{19π}{12}$，
∴在[0，2π]内的所有实数根之和 2×$\frac{7π}{12}$=2×$\frac{9π}{12}$=$\frac{13π}{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．