Question

6．已知x＞0，y＞0且2x+y=2，则$\frac{1}{x}+\frac{4}{{{y^{\;}}}}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{x}+\frac{4}{{{y^{\;}}}}$=（$\frac{1}{x}+\frac{4}{{{y^{\;}}}}$）×$\frac{1}{2}$×（2x+y）展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵x＞0，y＞0且2x+y=2，则$\frac{1}{x}+\frac{4}{{{y^{\;}}}}$=（$\frac{1}{x}+\frac{4}{{{y^{\;}}}}$）×$\frac{1}{2}$×（2x+y）=$\frac{1}{2}$×（6+$\frac{y}{x}$+$\frac{8x}{y}$）≥$\frac{1}{2}$×（6+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{8x}{y}}$）=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当x=$\sqrt{2}$-1，y=4-2$\sqrt{2}$时取号，
故则$\frac{1}{x}+\frac{4}{{{y^{\;}}}}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$，
故答案为：3+2$\sqrt{2}$

点评 本题考查利用基本不等式求最值，关键是“1”的灵活运用，是基础题．