Question

19．若存在正整数m，使得f（n）=（2n-7）3ⁿ+9（n∈N^*）都能被m整除，则m的最大值为6．

Answer 1

分析 我们将n=1，2，3，4依次代入，计算相应的f（n）的值，由此不难得到满足条件的m值，然后再根据数学归纳法对结论进行证明．

解答 解：由f（n）=（2n-7）•3ⁿ+9，得f（1）=-6，
f（2）=-3×6，f（3）=-3×6，f（4）=15×6，由此猜想m=6．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时，f（k）能被6整除，
即f（k）=（2k-7）•3^k+9能被6整除；
当n=k+1时，[2（k+1）-7]•3^k+1+9=3[（2k-7）•3^k+9]+18（3^k-1-1），
由于3^k-1-1是2的倍数，故18（3^k-1-1）能被6整除．
这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被6整除．
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9能被6整除，
m的最大值为6，
故答案为：6．

点评 本题考查数学归纳法的应用，考查学生的观察能力，考查推理、论证的能力，运算难点，属于难题．