Question

5．（1）求证：$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$＞1+$\sqrt{13}$；
（2）已知x，y∈R⁺，且x+y＞1，求证：$\frac{1+x}{y}$与$\frac{1+y}{x}$中至少有一个小于3．

Answer 1

分析 （1）两边平方，使用分析法逐步找出使不等式成立的条件；
（2）结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．

解答 证明：（1）（分析法）要证明$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$＞1+$\sqrt{13}$，
只要证（$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$）²＞（1+$\sqrt{13}$）²，
即证$\sqrt{35}$＞2+$\sqrt{13}$，
即证35＞17+4$\sqrt{13}$，
即证9＞2$\sqrt{13}$，
即证81＞52，
显然81＞52恒成立，
∴求证：$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$＞1+$\sqrt{13}$；
（2）（反证法）：假设$\frac{1+x}{y}与\frac{1+y}{x}$均不小于2，即$\frac{1+x}{y}$≥2，$\frac{1+y}{x}$≥2，
∴1+x≥2y，1+y≥2x．将两式相加得：x+y≤2，与已知x+y＞2矛盾，
故$\frac{1+x}{y}与\frac{1+y}{x}$中至少有一个小于2．

点评 本题考查了不等式的证明方法，根据式子特点合理选择证明方法，属于中档题．