Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+1），g（x）=log₂（2^x-1），若F（x）=g（x）-f（x）-m在[1，2]上有零点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：将函数F（x）=g（x）-f（x）-m在[1，2]上有零点转化为g（x）-f（x）-m=0在[1，2]上有解，进而求出函数g（x）-f（x）的取值范围即可得到结论．

解答： 解：若F（x）=g（x）-f（x）-m在[1，2]上有零点，
即F（x）=g（x）-f（x）-m=0在[1，2]上有解，
即-m=f（x）-g（x）=log₂（2^x+1）-log₂（2^x-1），在[1，2]上有解，
设m（x）=log₂（

2x+1

2x-1

）=log₂（

2x-1+2

2x-1

）=log₂（1+

2

2x-1

），
当x∈[1，2]时，y=1+

2

2x-1

单调递减，则根据复合函数单调性之间的关系可知m（x）=log₂（1+

2

2x-1

）单调递减，
则m（2）≤m（x）≤m（1），
即log₂

5

3

≤m（x）≤log₂3，
则log₂

5

3

≤-m≤log₂3，
即-log₂3≤m≤-log₂

5

3

故m的取值范围是[-log₂3，-log₂

5

3

]．

点评：本题主要考查函数零点的应用，将方程关系转化为函数，利用函数的单调性求出最值是解决本题的关键．