Question

如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取AC的中点D，连结SD、DB，证明AC⊥平面SDB，即可证明AC⊥SB；
（2）过N点作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E点作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM，可得∠NFE为二面角N-CM-B的平面角，即可求二面角N-CM-B的大小；
（3）由V_B-CMN=V_N-BCM求点B到平面CMN的距离．

解答： （1）证明：取AC的中点D，连结SD、DB，
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD，AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，
∵SB?平面SDB，
∴AC⊥SB；
（2）解：∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC，
过N点作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，
过E点作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM，∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角，
∵NE=

1

2

SD=

2

，EF=

1

4

MB=

1

2

，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=

EN

EF

=2

2

，∴∠NFE=arctan2

2

（3）解：在Rt△NEF中，NF=

EF2+EN2

=

3

2

，
S△CMN=

1

2

CM•NF=

3 3

2

，S△CMB=

1

2

BM•CM=2

3

，
设B到平面CMN的距离为h，由V_B-CMN=V_N-BCM得

1

3

•

3 3

2

•h=

1

3

×2

3

×

2

，
∴h=

4 2

3

．

点评：本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面所成的角，考查体积公式的运用，属于中档题．