Question

某人需要补充维生素．现有甲、乙两种维生素胶囊，它们都含有维生素A、C、E和最新发现的Z．甲种每粒含有维生素A、C、E、Z分别是1mg，2mg，4mg，3mg；乙种每粒含有维生素A、C、E、Z分别是3mg，1mg，3mg，2mg．若此人每天摄入维生素A至多18mg，维生素C至多13mg，维生素E至少12mg，则他每天应服用两种胶囊和多少粒才能满足需要量，并能得到最大最的维生素Z？

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：根据已知条件中解：设他每天应服用甲种胶囊x粒，乙种胶囊y粒，才能满足维生素的需要量，并能获得最大量的维生素z，（mg），由题意得出约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．

解答： 解：设他每天应服用甲种胶囊x粒，乙种胶囊y粒，才能满足维生素的需要量，并能获得最大量的维生素z mg．
则

x+3y≤18 2x+y≤13 4x+3y≥12 x∈N，y∈N

，目标函数z=3x+2y，
作出不等式组表示的平面区域，如图所示．做直线l₀：3x+2y=0，
朋友直线3x+2y=z，由平移可知当直线经过点A时，截距最大，
此时由

x+3y=18 2x+y=13

，解得

x= 21 5 y= 23 5

，不是整数解，不满足条件，需要调整直线位置，
考查点A附近的可行域内的整数点B（5，3），C（4，4），D（3，5），
可得当直线经过点B时，截距最大
即x=5，y=3时，z=3x+2y=15+6=21 mg为最大量．
故那么他每天应服用两种胶囊各5粒，3粒才能满足维生素的需要量，并能获得最大量的维生素Z．

点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立目标函数和约束条件是解决本题的关键．调整最优解是本题的难点．