Question

已知离心率分别为e₁、e₂的椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的两个公共顶点为A、B，若P、Q分别为双曲线C₂和椭圆C₁上不同于A、B的动点，O为坐标原点，且满足

OP

=λ

OQ

（λ∈R，|λ|＞1）．如果直线AP、BP、AQ、BQ的斜率依次记为k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求证：e₁²+e₂²=2；
（2）求证：k₁+k₂+k₃+k₄=0．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得e1=

c

a

=

a2-b2

a

，e2=

c′

a

=

a2+b2

a

，由此能证明e12+e22=2．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x12-a2=

a2

b2

y12，k1+k2=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2b2

a2

×

x1

y1

，k3+k4=

y2

x2+a

+

y2

x2-a

=-

2b2

a2

×

x2

y2

，由此能证明k₁+k₂+k₃+k₄=0．

解答： （1）证明：∵离心率分别为e₁、e₂的椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴由已知得e1=

c

a

=

a2-b2

a

，e2=

c′

a

=

a2+b2

a

，
∴e12+e22=

a2-b2

a2

+

a2+b2

a2

=2．
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵

x12

a2

-

y12

b2

=1，∴x12-a2=

a2

b2

y12，
k1+k2=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2x1y1

x12-a2

=

2b2

a2

×

x1

y1

，①
∵

x22

a2

+

y22

b2

=1，∴x22-a2=-

a2

b2

y22，
∴k3+k4=

y2

x2+a

+

y2

x2-a

=

2x2y2

x22-a2

=-

2b2

a2

×

x2

y2

，②
∵

OP

=λ

OQ

，∴O、P、Q三点共线，
∴

x1

y1

=

x2

y2

，
∴由①②得k₁+k₂+k₃+k₄=0．

点评：本题考查e₁²+e₂²=2的证明，考查k₁+k₂+k₃+k₄=0的证明，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．