Question

已知函数f（x）=-4lnx-

1

2

ax²+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=-

1

2

，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在两个整数m，n，使得函数f（x）在区间（m，n）上是增函数，且（m，n）⊆（0，a+4），求n的最大值，及n取最大值时a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求f（x），f′（x），找函数f（x）的单调区间，判断它的单调性，从而求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）先根据（m，n）⊆（0，a+4），得到：0≤m＜n≤a+4，a＞-4．求f′（x）=

-ax2+x-4

x

，设h（x）=-ax²+x-4，根据已知条件，h（x）＞0在（m．n）上恒成立．这时候，讨论a的取值情况，从而得出a的取值范围，并求出n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=-4lnx+

1

4

x2+x，f′（x）=-

4

x

+

1

2

x+1=

(x+4)(x-2)

2x

(x＞0)；
∴x∈（0，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）_min=f（2）=-4ln2+3．
（Ⅱ）∵（m，n）⊆（0，a+4），∴0≤m＜n≤a+4，a＞-4          ①；
f′（x）=-

4

x

-ax+1=

-ax2+x-4

x

（x＞0），
设h（x）=-ax²+x-4，则：
f′（x）＞0，即h（x）＞0，对x∈（m，n）恒成立．
（1）当a＜0时，∵h（0）=-4，∴h（a+4）=-a[（a+4）²-1]＞0，解得a＞-3，或a＜-5        ②；
由①②得：-3＜a＜0，m＜n≤a+4＜4；
又m，n为整数，∴m＜n≤3；
当且仅当

-3＜a＜0 3≤a+4＜4 h(2)=-4a-2≥0

，即-1≤a≤-

1

2

时，n_max=3；
（2）当a=0时，f（x）的递增区间是[4，+∞），不适合条件；
（3）当a＞0时，由h（0）＜0，h（a+4）＜0，要使f′（x）＞0在（0，a+4）上有解，则：

0＜ 1 2a ＜a+4 △=1-16a＞0

，不等式组无解，∴不适合条件．
综上：n_max=3，此时a的取值范围是：[-1，-

1

2

]．

点评：考查导数符号和函数单调性的关系，以及函数单调性和函数最值的关系，而对于第二问，求解的思路就是，求整数n的取值范围，从而求出n的最大值，及此时a的取值范围．