Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ）（θ∈R），

b

=（

3

，1）．
（1）当

a

⊥

b

时，求tan2θ的值；
（2）求|

a

+

b

|的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）运用向量垂直的坐标表示，求出tanθ=-

3

，再由二倍角的正切公式，即可得到答案；
（2）求出向量a，b的模和它们的数量积，再由|

a

+

b

|=

| a + b |2

，运用三角函数的两角和的正弦公式，即可求出最大值．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，
∴（cosθ，sinθ）•（

3

，1）=0，
即

3

cosθ+sinθ=0，
∴tanθ=-

3

，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

-2 3

1-3

=

3

；
（2）∵|

a

|=1，|

b

|=2，

a

•

b

=

3

cosθ+sinθ，
∴|

a

+

b

|=

| a + b |2

=

a 2+ b 2+2 a • b

=

1+4+2( 3 cosθ+sinθ)

=

5+4sin(θ+ π 3 )

∴当sin（θ+

π

3

）=1时，|

a

+

b

|的最大值为

5+4

=3．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，向量垂直的坐标表示，考查三角函数的化简和求值，属于中档题．