Question

已知

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），且f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）在x∈[-

π

3

，

π

3

]的最大值；
（2）若f（x）=1-

3

，x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x，x∈R的图象经过怎样的变换得出？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，再根据x的范围求出f（x）在x∈[-

π

3

，

π

3

]的最大值．
（2）由f（x）=1-

3

可得 sin（2x+

π

6

）=-

3

2

，可得 2x+

π

6

=2kπ-

π

3

，或 2x+

π

6

=2kπ+π+

π

3

，k∈z．再根据x的范围求出x的值．
（3）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答： 解：（1）已知

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，∴f（x）∈[0，3]．
∴f（x）的最大值为：3
（2）若f（x）=1-

3

 可得 sin（2x+

π

6

）=-

3

2

，
∴2x+

π

6

=2kπ-

π

3

，或 2x+

π

6

=2kπ+π+

π

3

，k∈z，
即 x=kπ-

π

4

，或 x=kπ+

7π

12

．
再根据x∈[-

π

3

，

π

3

]，可得 x=-

π

4

．
（3）把函数y=2sin2x，x∈R的图象向左平移

π

12

个单位可得y=sin2（x+

π

12

）=sin（2x+

π

6

）的图象，
再把所得图象向上平移1个单位，可得函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1 的图象．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，根据三角函数的值求角，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．