Question

已知f（x）=2ax-

1

x

-（2+a）lnx（a≥0）
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈（2，4），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）a=1时，求出f（x）、f′（x），在定义域内解f′（x）＞0，f′（x）＜0，由导数符号变化规律可得极值点、极值；
（2）f′（x）=2a+

1

x2

-（2+a）•

1

x

=

2ax2-(2+a)x+1

x2

，根据极值点

1

a

与

1

2

的大小关系分三种情况讨论，在定义域内由导数符号可求单调区间；
（3）由（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|对任意的a∈（2，4），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，得（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max，由（2）根据f（x）的单调性可求|f（x₁）-f（x₂）|_max，分离出参数m后再化为函数的最值即可；

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=2x-

1

x

-3lnx，f′（x）=2+

1

x2

-

3

x

=

2x2-3x+1

x2

=

(2x-1)(x-1)

x2

，
由f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

或x＞1；由f′（x）＜0得

1

2

＜x＜1．
可知f（x）在（0，

1

2

）上是增函数，在（

1

2

，1）上是减函数．在（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）的极大值为f（

1

2

）=3ln2-1，f（x）的极小值f（1）=1．
（2）f（x）=2ax-

1

x

-（2+a）lnx，f′（x）=2a+

1

x2

-（2+a）•

1

x

=

2ax2-(2+a)x+1

x2

，
①当0＜a＜2时，f（x）在（0，

1

2

）和（

1

a

，+∞）上是增函数，在（

1

2

，

1

a

）上是减函数；
②当a=2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；                  
③当a＞2时，f（x）在（0，

1

a

）和（

1

2

，+∞）上是增函数，在（

1

a

，

1

2

）上是减函数；
（3）当2＜a＜4时，由（2）可知f（x）在[1，3]上是增函数，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（3）-f（1）=4a-（2+a）ln3+

2

3

，
由（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|对任意的a∈（2，4），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，
∴（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max，即（m-ln3）a-2ln3＞4a-（2+a）ln3+

2

3

对任意2＜a＜4恒成立，
∴m＞4+

2

3a

对任意2＜a＜4恒成立，
由于2＜a＜4，∴m≥

13

3

．

点评：该题考查利用导数研究函数的极值、最值、单调性，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．