Question

已知向量

m

=（

3

，1），向量

n

是与向量

m

夹角为

π

3

的单位向量．
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

与向量

q

=（-

3

，1）共线，且

n

与

p

=（

3

x，

2x+1

x

）的夹角为钝角，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）设

n

=(x，y)，由题意可得

x2+y2 =1 3 x+y=2cos π 3

，解得即可．
（2）由（1）和向量

n

与向量

q

=（-

3

，1）共线，可知

n

=(

3

2

，-

1

2

)．
由于

n

与

p

=（

3

x，

2x+1

x

）的夹角为钝角，可得

n

•

p

＜0且

n

与

p

不能反向共线，解得即可．

解答： 解：（1）设

n

=(x，y)，由题意可得

x2+y2 =1 3 x+y=2cos π 3

，
解得

x=0 y=1

或

x= 3 2 y=- 1 2

，
∴

n

=（0，1）或

n

=(

3

2

，-

1

2

)．
（2）∵向量

n

与向量

q

=（-

3

，1）共线，
∴

n

=(

3

2

，-

1

2

)．
∵

n

与

p

=（

3

x，

2x+1

x

）的夹角为钝角，
∴

n

•

p

=

3

2

x-

2x+1

2x

＜0且

3

2

•

2x+1

x

+

3 x

2

≠0，
解得x＜-

1

3

或0＜x＜1，且x≠-1．
∴实数x的取值范围是x＜-

1

3

或0＜x＜1，且x≠-1．．

点评：本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、单位向量、向量共线定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．