Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，M为BD₁的中点，N在A₁C₁上，且满足|A₁N|=3|NC₁|．
（1）求MN的长；
（2）试判断△MNC的形状．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出|MN|=

6

4

a．
（2）由

MN

=（-

1

4

a，

1

4

a，

1

2

a），

MC

=（-

1

2

a，

1

2

a，-

1

2

a），知

MN

•

MC

=

1

8

a2+

1

8

a2-

1

4

a2=0，由此得到△MNC是直角三角形．

解答： 解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，并设正方体边长为a，
则B（a，a，0），D₁（0，0，a），
A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），
C（0，a，0），M（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），N（

1

4

a，

3

4

a，a），
∴|MN|=

( 1 4 a- 1 2 a)2+( 3 4 a- 1 2 a)2+(a- 1 2 a)2

=

6

4

a．
（2）∵

MN

=（-

1

4

a，

1

4

a，

1

2

a），

MC

=（-

1

2

a，

1

2

a，-

1

2

a），

NC

=（-

1

4

a，

1

4

a，-a），
∴

MN

•

MC

=

1

8

a2+

1

8

a2-

1

4

a2=0，
∴MN⊥MC，
∴△MNC是直角三角形．

点评：本题考查线段长的求法，考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．