Question

已知平面内点P（x，y）满足不等式（x+2y-1）（x-y+3）≥0，求x²+y²的最小值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=x²+y²，则z的几何意义为区域内的点P（x，y）到原点的距离的平方，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：不等式（x+2y-1）（x-y+3）≥0等价为

x+2y-1≥0 x-y+3≥0

或

x+2y-1≤0 x-y+3≤0

，
作出二元一次不等式组对应的平面区域如图：
设z=x²+y²，则z的几何意义为区域内的点P（x，y）到原点的距离的平方，
由图象可知，OP的最短距离为圆心O到直线x+2y-1=0的距离，
此时d=

|-1|

12+22

=

1

5

，
则z的最小值为d²=

1

5

，
即x²+y²的最小值为

1

5

．

点评：本题主要考查线性规划的应用，以及点到直线的距离的计算，利用z的几何意义，以及数形结合是解决本题的关键．