Question

已知H是△ABC的垂心，BE是AC边上的高，B（-2，0），C（6，0），

BE

=3

HE

．
（1）求点H的轨迹方程；
（2）若斜率为1的直线l与点H轨迹交于M、N两点，求

OM

•

ON

的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设H（x，y），E（m，n），

BE

=（m+2，n），

HE

=（m-x，n-y），由于

BE

=3

HE

，可得

m+2=3(m-x) n=3(n-y)

，E点的坐标．又

BH

=（x+2，y），

CE

=(

3

2

x-5，

3

2

y)，BE⊥AC，可得

BH

•

CE

=0，化为3x²+3y²-4x-20=0．由于

BE

=3

HE

，H是△ABC的垂心，可知：y≠0．
（2）设l的方程为：y=x+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=2x1x2+b(x1+x2)+b2，与H的轨迹方程联立可得6x²+2（3b-2）x+3b²-20=0，利用△＞0，可得b的取值范围，再利用根月系数的关系代入

OM

•

ON

=b2+

2

3

b-

20

3

，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设H（x，y），E（m，n），

BE

=（m+2，n），

HE

=（m-x，n-y），
∵

BE

=3

HE

，
∴

m+2=3(m-x) n=3(n-y)

，解得

m=1+ 3 2 x n= 3 2 y

．
又

BH

=（x+2，y），

CE

=(

3

2

x-5，

3

2

y)，BE⊥AC，
∴

BH

•

CE

=(x+2)(

3

2

x-5)+y•

3

2

y=0，化为3x²+3y²-4x-20=0．
∵

BE

=3

HE

，H是△ABC的垂心，∴H不可能落在x轴上，
∴点H的轨迹方程是3x²+3y²-4x-20=0．（y≠0）．
（2）设l的方程为：y=x+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=2x1x2+b(x1+x2)+b2，
联立

y=x+b 3x2+3y2-4x-20=0

，化为6x²+2（3b-2）x+3b²-20=0，
由△=4（3b-2）²-24（3b²-20）＞0，解得

-2-8 2

3

＜b＜

-2+8 2

3

，
又x1+x2=

2-3b

3

，x1x2=

3b2-20

6

，
∴

OM

•

ON

=b2+

2

3

b-

20

3

=(b+

1

3

)2-

61

9

，
∴当b+

1

3

=0时，即b=-

1

3

时，

OM

•

ON

取得最小值-

61

9

．

点评：本题考查了向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系、点的轨迹方程、直线与曲线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．