Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，点（n，

Sn

n

）在直线y=

1

2

x上，数列{b_n}满足

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1

2n

=a_n（n∈N）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）是否存在常数P（P≠-1），使数列{

Tn-n+1

2(2n+P)

}为等比数列，若存在，求出P的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）依题意得S_n=

1

2

n²，当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1=可求得a_n=n-

1

2

，再求得a₁，检验即可得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1

2n

=n-

1

2

⇒

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1-1

2n-1

=n-1-

1

2

，两式相减后，整理可得b_n=2ⁿ+1（n≥2），进一步可求得b₁=2，分组求和即可得到数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）易求

Tn-n+1

2(2n+P)

=

2n-1

2n+P

，令C_n=

2n-1

2n+P

，则依题意，C₁，C₂，C₃应成等比数列，可求得P=-16，当n=4时，C₄不存在，从而可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵点（n，

Sn

n

）在直线y=

1

2

x上，∴

Sn

n

=

n

2

，即S_n=

1

2

n²，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n²-

1

2

（n-1）²=n-

1

2

，
当n=1时，a₁=S₁=

1

2

也适合上式．
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=n-

1

2

…5分
（Ⅱ）由

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1

2n

=a_n得：

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1

2n

=n-

1

2

…①，

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1-1

2n-1

=n-1-

1

2

…②，
①-②得：

bn-1

2n

=1，
∴b_n=2ⁿ+1（n≥2），又b₁=2，
∴T_n=2¹+（2²+1）+…+（2ⁿ+1）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）+n-1
=

2(1-2n)

1-2

+n-1
=2ⁿ⁺¹+n-3…9分
（Ⅲ）

Tn-n+1

2

=

2n+1+n-2-n

2

=2ⁿ-1，
∴

Tn-n+1

2(2n+P)

=

2n-1

2n+P

，令C_n=

2n-1

2n+P

，则依题意，C₁，C₂，C₃应成等比数列，
即(

3

4+P

)2=

1

2+P

•

7

8+P

，
解方程得：P=-1（舍）或P=-16．
若P=-16，则C_n=

2n-1

2n-16

，当n=4时，C₄不存在．
∴不存在常数P（P≠-1），使数列{

Tn-n+1

2(2n+P)

}为等比数列…14分

点评：本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用，着重考查等比数列的性质及分组求和的应用，考查等价转化思想与综合运算能力，属于难题．