Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱CC₁的中点，设CP=m（0＜m＜1）．
（Ⅰ）试确定m的值，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值3

2

；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论；
（Ⅲ）求三棱锥D-APD₁的体积．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当m=

1

3

时，直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3

2

．
（Ⅱ）若在A₁C₁上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则Q（x，1-x，1），

D1Q

=（x，1-x，0），由题意知-x+（1-x）=0，由此能求出Q为A₁C₁的中点时，满足题设的要求．
（Ⅲ）无论m取何值时，P到平面ADD₁的距离总是1，由VD-APD1=VP-ADD1，利用等积法能求出三棱锥D-APD₁的体积．

解答： 解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
D（0，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1），P（0，1，m），
∴

BD

=（-1，-1，0），

BB1

=（0，0，1），

AP

=(-1，1，m)，

AC

=（-1，1，0），
又由

AC

•

BD

=0，

AC

•

BB1

=0，得

AC

为平面BDD₁B₁的一个法向量，
设AP与平面BDD₁B₁所成的角为θ，
则sinθ=cos（

x

2

-θ）=

| AP • AC |

| AP |•| AC |

=

2

2 • 2+m2

，
依题意有

2

2 • 2+m2

=

3 2

1+(3 2 )2

，解得m=

1

3

，
∴当m=

1

3

时，直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3

2

．
（Ⅱ）若在A₁C₁上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
则Q（x，1-x，1），

D1Q

=（x，1-x，0），
依题意，对任意的m，要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，
等价于

D1Q

⊥

AP

，∴

AP

•

D1Q

=0，
∴-x+（1-x）=0，∴x=

1

2

，
即Q为A₁C₁的中点时，满足题设的要求．
（Ⅲ）∵无论m取何值时，P到平面ADD₁的距离总是1，
∴VD-APD1=VP-ADD1=

1

3

×S△ADD1×1=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．

点评：本题考查满足条件的线段长的确定，考查满足条件的点的位置的确定，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．