Question

设函数f（x）=2x²+

1

2

，g（x）=ln（2ex）（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数y=f（x）-g（x）的最小值；
（2）是否一定存在一次函数h（x），使得f（x）≥h（x）≥g（x）对一切x∈（0，+∞）恒成立？若存在，求出h（x）的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）表示出y=f（x）-g（x），用导数判断其单调性，根据单调性即可求出最小值；
（2）由（Ⅰ）知f（

1

2

）=g（

1

2

）=1，从而得h（

1

2

）=1，于是h（x）可表示为关于k的一次函数，根据f（x）≥h（x）恒成立可求得k值，从而可求得h（x）表达式，再验证h（x））≥g（x）对一切x＞0恒成立即可；

解答： 解：（1）y=f（x）-g（x）=2x²+

1

2

-ln（2ex），定义域为{x|x＞0}，
y′=4x-

1

x

=

(2x+1)(2x-1)

x

，易知0＜x＜

1

2

时y′＜0，x＞

1

2

时y′＞0，
所以y=f（x）-g（x）在（0，

1

2

）上递减，在（

1

2

，+∞）上递增，
所以x=

1

2

时y=f（x）-g（x）取得最小值为0．
（2）由（Ⅰ）知f（

1

2

）=g（

1

2

）=1，从而得h（

1

2

）=1，所以可设h（x）=k（x-

1

2

）+1=kx-

k

2

+1（k＞0），
f（x）-h（x）≥0，2x²-kx+

k

2

-

1

2

≥0，△=（k-2）²≤0，k=2．h（x）=2x，
G（x）=h（x）-g（x）=2x-ln（2ex），G′（x）=2-

1

x

，当0＜x＜

1

2

时G′（x）＜0，当x＞

1

2

时G′（x）＞0，易知G（x）≥G（

1

2

）=0，即h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；
综上，存在h（x）=2x符合题目要求，它恰好是y=f（x），y=g（x）图象的公切线．

点评：本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立及函数与不等式的综合问题，考查学生分析，问题解决问题
转化计算的能力．