Question

已知△ABC的顶点A（-1，4），AB边上的中垂线方程为x+7y-2=0，∠C的平分线所在的直线方程为x-2y+4=0．
（1）求顶点B，C坐标；
（2）过点C作直线l与圆x²+y²=4交于M，N两点，求MN的中点P的运动轨迹．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设B（s，t），由A（-1，4），AB边上的中垂线方程为x+7y-2=0，由中垂线的性质可知：AB的中点在中垂线上，且直线AB的斜率与中垂线的斜率乘积为-1，即可得出．先求出点B（-2，-3）关于直线x-2y+4=0的对称点B′（a，b）．同理可得．进而点到直线AB′（即AC）的方程，与∠C的平分线方程联立即可解出C的坐标．
（2）设MN的中点P（x，y），由垂经定理可知：OP⊥l，可得k_OP•k_l=-1，（x≠0，6）．化为(x-3)2+(y-

5

2

)2=

61

4

．可知：MN的中点P的运动轨迹是圆(x-3)2+(y-

5

2

)2=

61

4

在圆x²+y²=4内部的圆弧部分（包括（0，0））．

解答： 解：（1）设B（s，t），∵A（-1，4），AB边上的中垂线方程为x+7y-2=0，
∴

t-4 s+1 ×(- 1 7 )=-1 s-1 2 +7× t+4 2 -2=0

，解得

s=-2 t=-3

，∴B（-2，-3）．
先求出点B（-2，-3）关于直线x-2y+4=0的对称点B′（a，b）．
∵

-2+a 2 -2× b-3 2 +4=0 b+3 a+2 × 1 2 =-1

，解得

a=- 26 5 b= 17 5

，∴B′(-

26

5

，

17

5

)．
∴kAB′=

4- 17 5

-1+ 26 5

=

1

7

∴直线AB′（即AC）的方程为：y-4=

1

7

(x+1)，化为x-7y+29=0．
联立

x-2y+4=0 x-7y+29=0

解得

x=6 y=5

，∴C（6，5）．
（2）设MN的中点P（x，y），
由垂经定理可知：OP⊥l，
∴k_OP•k_l=

y

x

×

y-5

x-6

=-1，（x≠0，6）．
化为(x-3)2+(y-

5

2

)2=

61

4

．
可知：MN的中点P的运动轨迹是圆(x-3)2+(y-

5

2

)2=

61

4

在圆x²+y²=4内部的圆弧部分（包括（0，0））．

点评：本题考查了中垂线的性质、角平分线的性质、对称点的求法、垂经定理、圆的轨迹方程，考查了推理能力和计算能力，属于难题．