Question

已知函数f（x）=

1+cos2x

2sin( π 2 -x)

+sinx+a²sin（x+

π

4

）的最大值为

2

+3．
（Ⅰ）试确定常数a的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）≥1+

3 2

2

．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,三角函数线,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（I）利用倍角公式、诱导公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=(

2

+a2)sin(x+

π

4

)．由于f（x）的最大值为

2

+3．可得

2

+a2=

2

+3，解得即可．
（II）由（I）可得：f（x）=(

2

+3)sin(x+

π

4

)，因此不等式f（x）≥1+

3 2

2

，化为sin(x+

π

4

)≥

2

2

，利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）函数f（x）=

1+cos2x

2sin( π 2 -x)

+sinx+a²sin（x+

π

4

）
=

2cos2x

2cosx

+sinx+a2sin(x+

π

4

)
=sinx+cosx+a2sin(x+

π

4

)
=

2

sin(x+

π

4

)+a2sin(x+

π

4

)
=(

2

+a2)sin(x+

π

4

)．
∵f（x）的最大值为

2

+3．
∴

2

+a2=

2

+3，解得a=±

3

．
（II）∵f（x）=(

2

+3)sin(x+

π

4

)，
∴不等式f（x）≥1+

3 2

2

，化为sin(x+

π

4

)≥

2

2

，
∴

π

4

+2kπ≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

4

，解得2kπ≤x≤2kπ+

π

2

（k∈z）．
∴不等式的解集为{x|2kπ≤x≤2kπ+

π

2

，k∈z}．

点评：本题考查了倍角公式、诱导公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的图象与性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．