Question

已知函数f（x）=ax+xlnx（a为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x-e．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

对任意x＞1都成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由f′（e）=3得a，从而可得f′（x）=lnx+2，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间；
（2）k＜

f(x)

x-1

对任意x＞1都成立，等价于k＜[

f(x)

x-1

]min，利用导数可表示[

f(x)

x-1

]min；

解答： 解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1，
∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，
∴f（x）=x+xlnx，f′（x）=lnx+2，
由f′（x）＞0得x＞

1

e2

，由f′（x）＜0得0＜x＜

1

e2

．
∴f（x）的单调递减区间为（0，

1

e2

），单调递增区间为（

1

e2

，+∞）．
（2）当x＞1时，令g（x）=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，则g′（x）=

x-2-lnx

(x-1)2

，
设h（x）=x-2-lnx，则h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
h（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴?x₀∈（3，4），且h（x₀）=0，
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x₀）上单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x₀，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（x₀）=

x0+x0lnx0

x0-1

，
∵h（x₀）=x₀-2-lnx₀=0，
∴x₀-1=1+lnx₀，g（x₀）=x₀，
∴k＜x₀∈（3，4），∴k的最大值为3．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时合理构造函数是解题的关键．