Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．
（Ⅰ）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅱ）求证：平面MND⊥平面PCD；
（Ⅲ）当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的取值范围．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由题设条件及几何体的直观图可证得∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，求出此角的值即可得到二面角的大小；
（Ⅱ）观察图形，取PD中点E，连接AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点可证得四边形AMNE是平行四边形，得出MN∥AE，再证明AE⊥平面PCD得到MN⊥平面PCD，即可证明平面MND⊥平面PCD；
（Ⅲ）求异面直线所成的角得先作角，由图形及题设条件知∠PCB为异面直线PC，AD所成的角，在三角形PCB中解此角即可

解答： （Ⅰ）解：PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD．
故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角．
在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°．…（3分）
（Ⅱ）证明：如图，取PD中点E，连接AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，
∴EN∥

1

2

CD∥

1

2

AB，
∴AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE．
在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线，∴AE⊥PD．
由PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，可推出CD⊥PD
又CD⊥AD，AD∩PD=D
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，
又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，
∵MN?平面MND，
∴平面MND⊥平面PCD…（7分）
（Ⅲ）解：∵AD∥BC，∴∠PCB为异面直线PC，AD所成的角．
由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x（x＞0）．
∴tan∠PCB=

1+( x a )2

．
又∵

x

a

∈（0，+∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）．
又∠PCB为锐角，∴∠PCB∈（

π

4

，

π

2

），
即异面直线PC，AD所成的角的范围为（

π

4

，

π

2

）．…（12分）

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题的关键是熟练掌握二面角的求法，其步骤一般分为三步，作角，证角，求角，其中第二步证角易被忽略导致失分，解题时要注意解题的骤，本题中第二小问证明面面垂直，要注意正确使用判定定理，第三问中求异面直线所成的角，其作法也是要先作角，证角，求角，几何中求角的题其做题步骤基本上都分为此三步，做题后注意总结一下这个规律