Question

三棱锥A-BCD的顶点A在底面BCD内的射影为点O，且点O到三个侧面的距离相等，则点O一定是△BCD的（　　）

• A、重心
• B、内心
• C、垂心
• D、外心

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：设OD⊥AB于O，连结PD，则OD为PD在底面△ABC上的投影，作OE⊥PD于E，则OE⊥平面PAB，OE即为点O到侧面PAB的距离，由此能求出O为△ABC的内心．

解答： 解：如图，设OD⊥AB于O，连结PD，
则OD为PD在底面△ABC上的投影，
∴PD⊥AB，∴AB⊥平面POD，
∴平面PAB⊥平面POD，且它们的交结为PD，
作OE⊥PD于E，则OE⊥平面PAB，
∴OE即为点O到侧面PAB的距离，
同理可作出O到侧面PBC的垂线段OF，
∵OE=OF，∴Rt△PEO≌Rt△PFO，
∴∠DOP=∠GPO，∴Rt△POD≌Rt△POG，
∴OD=OG，
∴O为△ABC的内心．
故选：B．

点评：本题考查三角形五心的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．